Tempat Ilmu: Persamaan Kuadrat

Sabtu, 23 Februari 2013

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

$y = ax^2 + bx + c \,\!$

dengan

$a \ne 0 \,\!$

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari $x^2$ , koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

$y = 0 \,\!$ .

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

$y = ax^2 + bx + c \,\!$

dapat dituliskan menjadi

$y = a (x - x_1) (x - x_2) \,\!$ .

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,\!$

dan

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,\!$ .

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

[sunting]Pembuktian rumus kuadrat

Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

$ax^2 + bx + c = 0 \,\!$

bagi kedua ruas untuk mendapatkan $a = 1$

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!$

Pindahkan $\frac{c}{a}$ ke ruas kanan

$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \,\!$

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} \,\!$

Pindahkan $-\frac{b^2}{4ac}$ ke ruas kanan

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} \,\!$

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \,\!$

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

Pindahkan $-\frac{b}{2a}$ ke ruas kanan

$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

sehingga didapat rumus kuadrat

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

Nama : Yusuf Tauziri

Pelajaran ; Matematika

Guru : Ibu Anisa

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)